Kit Yates: The dangers of allowing exponential growth
What is exponential growth, and why is it relevant to epidemics? Kit Yates explains
Although the concept of exponential growth is not new in the public consciousness, a lot of misconceptions surround the idea. Exponential is often incorrectly used as a byword for rapid or large. It doesn’t have to be either of those. In fact, this is what is so deceptive about exponential growth. When it first starts it doesn’t look fast at all.
When the delta variant of covid-19 first arrived in the UK, its week-on-week rise was small. On the 20 March 2021, just two cases were sequenced by the COVID-19 Genomic consortium (COG-UK). A week later it was 18—still small numbers, seemingly nothing to worry about. The next week it had jumped to 60 and the week after to 186, and then to 369. By the 1 May 2021 COG-UK sequenced 735 cases of the delta variant, accounting for 12% of all sequenced cases. Although these were just a fraction of the cases spreading in the community, the trend was clear. Sequenced cases were doubling every week. By that point it was too late to stop its spread. The delta variant now comprises 99% of all sequenced cases in the UK.
But what, precisely, is exponential growth and why is it relevant to epidemics? The mathematical definition says that a quantity that increases with a rate proportional to its current size will grow exponentially. This means that as the quantity increases so does the rate at which it grows. The more infected people there are, the more people they will infect, and the faster the cases will rise.
In March 2020, cases in the UK were thought to be doubling approximately every three and a half days. If this were true, locking down just a week earlier would have meant entering the lockdown with a quarter of the cases. Tens of thousands of lives would have been saved. This is the terrifying power of exponential growth.
When a disease spreads through a largely susceptible population, we can characterise its growth using the reproduction number, R. R tells us the number of new infections each infectious individual might expect to seed in the population during the course of their infectious period. If R is below one then cases will fall, but if R is above one, then cases will rise—exponentially.
Sadly, this is the situation we find ourselves in again as covid spreads through the younger, largely unvaccinated population. For the UK, R, is currently estimated to be between 1.2-1.5. This suggests that the number of cases is growing by between 3% and 7% per day.
That we will see a huge third wave is explicitly acknowledged by the government. Sajid Javid, the secretary of state for health and social care, expects to see 100,000 cases per day during the summer, despite not being able to put a figure on the resultant levels of hospital admissions. This has been rationalised by suggesting that the link between cases and hospitalisations has been broken.
While vaccines have definitely weakened the link, they have not broken it. SAGE and SPI-M (its modelling subcommittee) suggested that from the start of April to early June the case-to-hospitalisation rate stayed approximately constant and that if this continued, exponential growth in cases would lead to exponential rises in hospitalisations. While it is likely that the link between hospitalisations and cases will continue to weaken as we vaccinate more, we can still expect to see rises in hospitalisation, which put pressure on an already stressed NHS. Indeed, we are seeing hospital admissions start to accelerate. Currently we are seeing over 500 new admissions per day with a week-on-week rise in admissions of over 55%. Hospitals in some regions are already having to cancel planned operations, including cancer care. Although deaths are at relatively low levels (compared to the thousands who were dying from COVID everyday in January) they are creeping upwards, growing 43% in the last week.
Of course, hospitalisation and death are not the only metrics against which to judge the impact of increased case numbers. Higher rates will disproportionately impact on younger unvaccinated people who have already lost so much to the ravages of the pandemic. Not only will our children suffer further educational disruption due to unmitigated transmission in schools, but we risk creating a generation impacted by chronic health problems. Deprived communities, who are disproportionately affected by covid, will continue to be disadvantaged by the government’s “Freedom Day” strategy. On top of this, allowing high levels of transmission in a partially vaccinated population increases the risk of vaccine resistant variants with the potential to undo much of the hard work carried out by the NHS through the vaccination programme.
The one mathematical consolation is that nothing can grow exponentially forever. Eventually, when enough people gain immunity (providing there are no immune evading variants, which is not a given) the virus will be denied the contacts between susceptible and infected people that it needs to continue to spread. But why we would try to achieve these high levels of immunity through natural infection, with all the attendant risks and none of the benefits of allowing everyone for whom it is safe to be doubly vaccinated, is beyond most people’s comprehension.
As conditions change, we would expect the rate of growth to change. Schools breaking up for the summer will slow the rates of increase of cases as will increased immunity. On the other hand, further unlocking on 19 July 2021 risks accelerating the unmitigated spread of the virus, posing an ‘exponential’ threat to the health and wellbeing of a nation.
Kit Yates, senior lecturer, Department for Mathematical Sciences, University of Bath. Twitter: @Kit_yates_maths
Competing interests: KY is a member of Independent SAGE.
Kit Yates : Les dangers de permettre une croissance exponentielle
13 juillet 2021
Qu'est-ce que la croissance exponentielle et pourquoi est-elle pertinente pour les épidémies ? Kit Yates explique
Bien que le concept de croissance exponentielle ne soit pas nouveau dans la conscience publique, de nombreuses idées fausses entourent l'idée. Exponentiel est souvent utilisé à tort comme synonyme de rapide ou grand. Cela ne doit être ni l'un ni l'autre. En fait, c'est ce qui est si trompeur sur la croissance exponentielle. Quand il démarre, il n'a pas l'air rapide du tout.
Lorsque le variant delta de covid-19 est arrivée pour la première fois au Royaume-Uni, son augmentation d'une semaine à l'autre était faible. Le 20 mars 2021, seuls deux cas ont été séquencés par le consortium COVID-19 Genomic (COG-UK). Une semaine plus tard, il était de 18 ans – encore de petits nombres, apparemment rien à craindre. La semaine suivante, il était passé à 60 et la semaine suivante à 186, puis à 369. Au 1er mai 2021, le COG-UK avait séquencé 735 cas de la variante delta, représentant 12 % de tous les cas séquencés. Bien qu'il ne s'agisse que d'une fraction des cas se propageant dans la communauté, la tendance était claire. Les cas séquencés doublaient chaque semaine. À ce stade, il était trop tard pour arrêter sa propagation. La variante delta comprend désormais 99% de tous les cas séquencés au Royaume-Uni.
Mais qu'est-ce, précisément, qu'une croissance exponentielle et pourquoi est-elle pertinente pour les épidémies ? La définition mathématique dit qu'une quantité qui augmente avec un taux proportionnel à sa taille actuelle augmentera de façon exponentielle. Cela signifie que lorsque la quantité augmente, la vitesse à laquelle elle augmente augmente également. Plus il y a de personnes infectées, plus elles infecteront de personnes et plus les cas augmenteront rapidement.
En mars 2020, on pensait que les cas au Royaume-Uni doublaient tous les trois jours et demi environ. Si cela était vrai, le verrouillage une semaine plus tôt aurait signifié entrer dans le verrouillage avec un quart des cas. Des dizaines de milliers de vies auraient été sauvées. C'est le pouvoir terrifiant de la croissance exponentielle.
Lorsqu'une maladie se propage à travers une population largement sensible, nous pouvons caractériser sa croissance en utilisant le nombre de reproduction, R. R nous indique le nombre de nouvelles infections que chaque individu infectieux peut s'attendre à semer dans la population au cours de sa période infectieuse. Si R est inférieur à un, les cas chuteront, mais si R est supérieur à un, les cas augmenteront de manière exponentielle.
Malheureusement, c'est la situation dans laquelle nous nous trouvons à nouveau alors que la covid se propage à travers la population plus jeune, en grande partie non vaccinée. Pour le Royaume-Uni, R est actuellement estimé entre 1,2 et 1,5. Cela suggère que le nombre de cas augmente de 3 à 7 % par jour.
Que nous verrons une énorme troisième vague est explicitement reconnu par le gouvernement. Sajid Javid, le secrétaire d'État à la Santé et aux Affaires sociales, s'attend à voir 100 000 cas par jour pendant l'été, bien qu'il ne soit pas en mesure de chiffrer les niveaux d'hospitalisations qui en résultent. Cela a été rationalisé en suggérant que le lien entre les cas et les hospitalisations a été rompu.
Si les vaccins ont définitivement affaibli le lien, ils ne l'ont pas rompu. SAGE et SPI-M (son sous-comité de modélisation) ont suggéré que de début avril à début juin, le taux de cas à hospitalisation est resté à peu près constant et que si cela se poursuivait, une croissance exponentielle des cas entraînerait une augmentation exponentielle des hospitalisations. S'il est probable que le lien entre les hospitalisations et les cas continuera de s'affaiblir à mesure que nous vaccinons davantage, nous pouvons toujours nous attendre à une augmentation des hospitalisations, ce qui met la pression sur un NHS déjà stressé. En effet, nous voyons les admissions à l'hôpital commencer à s'accélérer. Actuellement, nous enregistrons plus de 500 nouvelles entrées par jour avec une augmentation hebdomadaire des entrées de plus de 55%. Les hôpitaux de certaines régions doivent déjà annuler des opérations prévues, y compris les soins contre le cancer. Bien que les décès soient à des niveaux relativement bas (par rapport aux milliers de personnes qui mouraient chaque jour du COVID en janvier), ils augmentent progressivement, augmentant de 43% la semaine dernière.
Bien entendu, les hospitalisations et les décès ne sont pas les seuls indicateurs permettant de juger de l'impact de l'augmentation du nombre de cas. Des taux plus élevés auront un impact disproportionné sur les jeunes non vaccinés qui ont déjà tant perdu à cause des ravages de la pandémie. Non seulement nos enfants subiront de nouvelles perturbations éducatives en raison d'une transmission non atténuée dans les écoles, mais nous risquons de créer une génération touchée par des problèmes de santé chroniques. Les communautés défavorisées, qui sont touchées de manière disproportionnée par le covid, continueront d'être défavorisées par la stratégie du gouvernement « Jour de la liberté ». En plus de cela, permettre des niveaux élevés de transmission dans une population partiellement vaccinée augmente le risque de variantes résistantes au vaccin avec le potentiel d'annuler une grande partie du travail acharné effectué par le NHS à travers le programme de vaccination.
La seule consolation mathématique est que rien ne peut croître de façon exponentielle pour toujours. Finalement, lorsqu'un nombre suffisant de personnes acquiert l'immunité (à condition qu'il n'y ait pas de variantes échappant au système immunitaire, ce qui n'est pas acquis), le virus se verra refuser les contacts entre les personnes sensibles et infectées dont il a besoin pour continuer à se propager. Mais pourquoi nous essaierions d'atteindre ces niveaux élevés d'immunité par une infection naturelle, avec tous les risques qui en découlent et aucun des avantages de permettre à toutes les personnes pour lesquelles il est sûr d'être doublement vacciné, dépasse la compréhension de la plupart des gens.
À mesure que les conditions changent, nous nous attendons à ce que le taux de croissance change. La fermeture des écoles pour l'été ralentira le taux d'augmentation des cas, tout comme l'augmentation de l'immunité. D'un autre côté, un déverrouillage supplémentaire le 19 juillet 2021 risque d'accélérer la propagation sans atténuation du virus, ce qui représente une menace « exponentielle » pour la santé et le bien-être d'une nation.
Kit Yates, maître de conférences, Département des sciences mathématiques, Université de Bath. Twitter : @Kit_yates_maths
Intérêts concurrents : KY est membre de Independent SAGE.
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